本教程由 J. A. Woollam 提供，旨在为任何有兴趣了解椭偏测量及其应用的人士介绍椭偏测量原理。本文针对初学者编写，但有经验的椭偏用户也将从所述信息中受益。

什么是椭偏仪？

椭偏测量的是光在从材料结构反射或透射时偏振态的变化，偏振变化用振幅比Psi和相位差 Delta 表示。测得的结果取决于各材料的光学性质和厚度。因此，椭偏仪主要用于确定薄膜厚度和光学常数。但它也用于表征成分、结晶度、粗糙度、掺杂浓度及其它与光学参数变化相关的材料性质。

自20世纪60年代以来，随着椭偏技术发展到能测量微电子器件所用纳米级薄层的灵敏度，椭偏测量的关注度稳步上升。如今，其应用范围已扩展到物理科学基础研究、半导体与数据存储、平板显示、通信、生物传感器和光学镀膜等行业。这种广泛应用可归因于许多领域对薄膜日益依赖，以及椭偏测量可灵活测量大多数材料类型：介电体、半导体、金属、超导体、有机物、生物涂层和材料复合体。

本教程提供椭偏测量的基础描述及典型数据分析流程，并综述椭偏测量的主要应用。

偏振光

光可被描述为在空间传播的电磁波。对于椭偏测量，讨论波的电场在时空中的行为（即偏振）已足够。波的电场始终与传播方向垂直。因此，沿 z 方向传播的波可由其 x 和 y 分量描述。当光的方向和相位完全随机时，称为非偏振光。而在椭偏学中，我们关注的是电场沿特定路径并在任一点描出特定形状的情况，这称为偏振光。当两个正交波同相位时，得到的光为线偏振，其相对振幅决定偏振方向。如果正交波相位延迟90°且振幅相等，结果光为圆偏振。最常见的偏振是“椭圆偏振”，即任意振幅和相位的正交波组合，这正是椭偏学名称的由来。

将正交波组合以说明偏振：

光与材料

描述决定光与材料相互作用的光学性质有两个值，它们通常表示为复数。复折射率(ñ)由折射率(n)和消光系数(k)组成：

或者，光学性质也可以表示为复介电函数：

两种表示之间有以下关系：

折射率描述光在材料中相对于真空中光速 c 的相速度：

光进入折射率更高的材料时速度会变慢。由于光波的频率保持不变，波长会缩短。消光系数描述波能量被材料耗散的程度。它与吸收系数 之间的关系为：

在吸收材料中，光按比尔定律衰减强度：

因此，消光系数说明光在材料中消失的快慢。这些概念在下图中演示：光波在返回环境之前穿过两种不同特性的材料。

光波从空气进入吸收层薄膜 1然后进入透明薄膜 2相速度和波长在每种材料中随折射率变化（薄膜 1：n=4，薄膜 2：n=2）。

TiO2 的光学常数从紫外(UV)到红外(IR)，如图所示。光学常数随波长决定，紫外和红外处因不同机制从光波中夺取能量而产生吸收（k>0）。

红外吸收通常由分子振动、声子振动或自由载流子引起。紫外吸收一般由电子跃迁引起，即光提供能量使电子跃迁到高能态。图中的光学常数显示，实部和虚部并非独立，它们的形状通过克莱默-克罗尼格（K-K）一致性在数学上耦合。

TiO2 薄膜的复介电函数，覆盖从红外（低 eV）到紫外（高eV）的波长范围

光与材料的相互作用

当光与材料相互作用时，必须满足麦克斯韦方程，这将在界面处产生边界条件。入射光在界面处会反射和折射，如下图所示。入射光线与样品法线之间的角度 (θi) 等于反射角 (θr)。进入材料的光按角度θt折射，其数值由下式给出：

斯涅尔定律方程

光的反射和折射遵循斯涅尔定律

在每一界面上都会发生同样的情况：一部分光反射，其余光以折射角透射。边界条件对平行和垂直于样品表面的电场给出不同解。因此，可将光按与入射平面的关系分解为互相正交的分量。平行于入射平面的电场称为 p 极化，垂直于入射平面的电场称为 s 极化。两种分量相互独立，可分别计算。菲涅尔给出了材料界面处反射和透射光的量

p偏振光的振幅反射系数

p偏振光的振幅透射系数

s偏振光的振幅反射系数

s偏振光的振幅透射系数

薄膜和多层结构涉及多个界面，每个界面均适用菲涅尔反射和透射系数。为正确确定整体反射或透射光束，需追踪各光分量的相对相位。为此，我们定义膜相厚度为：

多束光的叠加会产生取决于各光束相对相位的干涉。下图示意了反射光束中光波的叠加及其对应的菲涅尔计算。

光在每个界面发生反射和折射，导致薄膜中出现多束光。光束间的干涉取决于电场的相对相位与振幅。可用菲涅尔反射和透射系数计算每束贡献光的响应。

椭偏测量

椭偏主要关心 p 和 s 分量在反射或透射时相互之间的变化，因此参考光束是实验的一部分。已知偏振态被样品反射或透射，输出偏振态被测量。偏振变化即为椭偏测量，通常记为：

下图显示了一个样品的椭偏测量。入射光为线偏振，包含 p和 s 分量。反射光在 p 和 s 偏振分量上都经历了幅值和相位变化，椭偏就是测量它们的变化。

采集椭偏数据的主要工具包括：光源、偏振发生器、样品、偏振分析器和探测器。偏振发生器与分析器由调整偏振的光学元件组成：偏振片、补偿片和相位调制器。常见椭偏仪配置有旋转分析仪 (RAE)、旋转偏振片 (RPE)、旋转补偿器(RCE) 和相位调制 (PME)。

上图展示了 RAE 配置。光源产生非偏振光，随后通过偏振片。偏振片允许某一电场方向的光通过。偏振片轴位于 p 与 s平面之间，使两者均能到达样品表面。线性偏振光从样品表面反射后成为椭圆偏振光，并通过连续旋转的偏振片（称为分析器）。允许通过的光强取决于偏振片方向与来自样品的电场“椭圆”之间的相对关系。探测器将光转换为电子信号以确定反射后的偏振态，并与已知的入射偏振态比较以确定样品反射引起的偏振变化，这就是 Psi 与 Delta 的椭偏测量。

椭偏数据分析

椭偏通过测量光偏振的变化来确定样品的材料性质，例如薄膜厚度和光学常数。对于块体材料，针对单次反射得出的方程可直接反解以从椭偏测量中提供“伪”光学常数， ：

伪介电函数

该方程假定不存在任何类型的表面层。然而，在任何体材料上通常存在表面氧化层或粗糙层，直接反演会将这些作为体光学常数的一部分。更常用的从椭偏测量推断材料性质的过程遵循下中的流程图。由于无法写出精确方程，需要回归分析。通常用于求解的数据点众多而未知量较少，回归分析使得在确定解时可包含所有测得的数据。

椭偏数据分析流程图

数据分析按如下进行：样品测量后，构建描述样品的模型。该模型用于根据菲涅尔方程计算预测响应，菲涅尔方程用厚度和光学常数描述每种材料。如果这些值未知，初步计算会给出估计值。将计算值与实验数据比较，然后改变任何未知的材料属性以改善实验与计算的匹配。未知参数的数量不应超过实验数据所含信息量。例如，单波长椭偏仪产生两个数据点（Psi, Delta），因此最多可确定两个材料参数。通过回归通常能找到模型与实验的最佳匹配。使用估计量（如均方误差 MSE）来量化曲线差异，允许未知参数变化直到 MSE 达到最小值。

最佳解对应于最低的 MSE。例如，下图显示了透明薄膜在硅上时 MSE 随薄膜厚度的曲线。有多个“局部”极小值，但最低的MSE 出现在厚度 = 749 nm 处，这对应正确的薄膜厚度。回归算法可能因起始厚度和 MSE 的结构条件而错误地陷入“局部”极小值。通过目视比较最低 MSE 与某一局部极小值的结果，可以轻松区分真实的全局最小值。

上图MSE 随厚度的曲线显示“全局”最小值。回归算法可能找到“局部”极小值，但这些不作为最终结果。图（右上）为处于“全局”最小值时模型生成的实验数据与对应曲线。图（左上）在约 0.45 微米厚度附近的“局部”极小值曲线明显可辨为不正确的结果。

薄膜厚度

薄膜厚度由来自表面的反射光与穿过薄膜的光之间的干涉决定。根据重新汇合光与表面反射光的相对相位，干涉可分为相长或相消。该干涉涉及振幅和相位信息。来自Delta的相位信息对亚单层厚度的薄膜非常敏感。下图比较了同一系列硅上薄SiO2 膜的反射强度与椭偏测量。 变化很大，而各膜的反射率几乎相同。

（左）反射强度和（右）椭偏 delta 对两种硅上薄氧化物显示了 Delta 对纳米级薄膜的高灵敏度，而强度测量无法观察到。

椭偏通常用于厚度从亚纳米到几微米的薄膜。随着薄膜变厚超过数十微米，干涉振荡越来越难以分辨，除非使用更长的红外波长。在这种情况下通常更倾向于采用其他表征技术。

厚度测量还要求有部分光穿透整个薄膜并返回到表面。如果材料会吸收光，光学仪器对厚度的测量将限于薄的半不透明层。可以通过在吸收较低的光谱区进行测量来避免此限制。例如，有机薄膜可能在紫外和红外强烈吸收，但在可见中段透明。对于在所有波长上都强烈吸收的金属，厚度测定的最大层厚通常约为 30 nm。

光学常数

厚度测量与光学常数相关。薄膜厚度影响光在膜内的光路长度，但折射率决定光波的速度和折射角。因此，两者都影响表面反射与穿过薄膜光之间的相位延迟。要从光学测量得到正确结果，必须与厚度一起已知或确定 n 与 k。

材料的光学常数会随波长变化，必须在椭圆偏振仪探测的所有波长上描述。光学常数表可用于预测材料在每个波长处的响应。然而，逐波长地调整未知光学常数并不方便。更有利的是同时使用所有波长。色散关系常能解决此问题，通过描述光学常数随波长的变化形状。色散关系的可调参数允许整体光学常数曲线与实验结果匹配。与在每个波长拟合单独的 n、k 值相比，这大大减少了未知“自由”参数的数量。

对于透明材料，折射率常用 Cauchy 或 Sellmeier 关系描述。Cauchy 关系通常表示为：

Cauchy经验公式

其中三个项可调整以匹配材料的折射率。Cauchy 不受Kramers-Kronig（KK）一致性约束，可能产生不物理的色散。Sellmeier 关系强制 KK 一致性，从而确保光学色散保持合理形状。Sellmeier 关系可写为：

Sellmeier方程

吸收材料通常在某些波长区间表现为透明，可用 Cauchy 或Sellmeier 建模。但在吸收区必须同时考虑实部与虚部光学常数。许多色散关系使用振子理论来描述材料的吸收，包括Lorentz、Harmonic 和 Gaussian 振子。它们具有相似属性，吸收特征用振幅、展宽和中心能量（与光频率相关）描述。在由振子描述虚部行为后，使用 Kramers-Kronig 一致性计算实部的形状，并为实部添加一个偏移以补偿测量光谱区外的额外吸收。Lorentz 振子可写为：

其中振幅 (A)、展宽 (B)、中心能量 (Ec) 和偏移 (e1, offset) 的参数在图中为典型 Lorentz 振子。能量 E 与波的频率 n 相关：

其中 h 为普朗克常数，波长以纳米为单位。更高级的色散模型，如 Tauc-Lorentz 和 Cody-Lorentz，会包含描述带隙能量的项。

延申阅读

光谱椭偏法：薄膜表征的实用应用

Harland G. Tompkins, James N. Hilfiker 著

Momentum Press，2016。

ISBN 978-1606507278

光谱椭偏术用于光伏：第1卷：基本原理与太阳能电池表征

编者：藤原浩之 (Hiroyuki Fujiwara)、罗伯特·柯林斯 (Robert Collins)

施普林格，2018 。

ISBN 978-3319753751